Contoh:
Tentukan
persamaan garis dari gambar di bawah ini :
garis h1
melalui (3,0) dan (0,2) ;
|
|||
garis h1 h2 dan melalui (1,0).
|
|||
persamaan garis h1 (gunakan rumus
bx
|
+ ay
|
=
1 )
|
|
3x + 2y = 1
|
|x 6|
|
||
persamaan
garis h12x + 3y = 6
|
|||
3y = -2x + 6
|
|||
y = - 23 x + 6
|
|||
persamaan
garis h2 :
|
||||
h1
|
h2 sehingga m1
|
. m 2
|
=
-1
|
|
m1 = - 23 maka m 2
|
= 32
|
|||
melalui (1,0)
|
||||
(y - y1 ) = m 2 (x - x1 )
|
||||
y – 0
|
= 32 ( x – 1 )
|
|||
y =
|
32 ( x – 1 )
|
|||
2y = 3x – 3
|
||||
persamaan garis
h2 adalah 3x-2y = 3
Menentukan
Sistem Pertidaksamaan Linear:
Untuk
menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan
dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik.
Langkah-langkahnya
( ax + by ≥ c) yaitu :
1. Gambar garis ax
+ by = c
2.Lakukan uji
titik dengan menentukan titik sembarang (x,y) yang terletak di luar garis ax +
by= c, kemudian substitusikan ke dalam persamaan ax + by ≥
c.
a.
Jika
benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut
dengan batas garis ax + by = c
b. Jika
salah, titik tersebut bukan himpunan penyelesaiannya
Tanpa
melakukan uji titik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat dilihat dari
gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi 2 bagian :
untuk a >0 dan b>0 y
ax + by ≥ ab
(0,a)
ax
+ by ≤ ab
x
(b,0)
ax + by =c
untuk a > 0
dan b <0
y
ax
- by ≤ -ab (0,a)
ax - by ≥ -ab
x
(-b,0)
www.belajar-matematika.com - 2
Untuk a < 0
dan b > 0
|
||
-ax + by ≥ -ab
|
||
(b,0)
|
x
|
|
(0,-a)
|
-ax + by ≤ -ab
|
y
Untuk a < 0
dan b <0
-ax – by ≤ ab
x (-b,0)
(0,-a)
-ax – by ≥ ab
y
Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system
pertidaksamaan :
2x
+3 y ≤6 ; 4x +2y ≤8
; x ≥0 ; y ≥0 untuk x dan y
R
jawab:
Langkah 1:
gambar
persamaan 2x +3y ≤6 Buat garis 2x +3 y = 6
titik potong dengan sb x jika y=0Æ 2x = 6 x = 3 titik potong dengan sb y jika x = 0Æ 3y = 6 y=2
didapat koordinat (3,0) dan (0,2)
Langkah 2 :
gambar persamaan 4x +2y ≤8
Buat garis 4x +2y = 8
titik potong dengan sb x jika y=0Æ 4x = 8
x = 2 titik potong dengan sb y jika x =
0Æ 2y = 8 y= 4
didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
4
4x+2y=8
2
|
titik
potong
|
2x+3y=6
|
|
2
|
3
|
Untuk
menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah titik (0,0). Titik(0,0)
memenuhi pertidaksamaan
2x
+3 y ≤6 ; 4x +2y ≤8
; x ≥ 0 ; y ≥0, maka (0,0)
merupakan anggota himpunan penyelesaian.
Daerah
yang diarsir menunjukkan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan
linear.
Tambahan:
Titik
potong dua persamaan adalah: Substitusikan persamaan 1 dan 2 : 2x + 3y = 6 | x
4 | 8x + 12y = 24
4x + 2y = 8 | x 2 | 8x + 4y = 16 - 8 y = 8
y = 1
2x + 3y = 6
2x + 3. 1 = 6 x = 1 12
titik potongnya
adalah (1 12 , 1 )
Nilai
Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah penyelesaian
Untuk
menentukan nilai optimum dalam daerah penyelesaian, dapat ditentukan dengan
menggunakan metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.
Contoh:
Jika
diketahui system pertidaksamaan
2x
+3 y ≤ 6 ; 4x +2y ≤8
; x ≥0 ; y ≥0 untuk x dan y
R, Tentukan nilai optimum untuk A = x +3y dan B= 2x+5y dimana x,y R
1),
Q(0,2),
R(2,0)
dan
|
Daerah
yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan.
Titik-titik
|
1
|
2
|
O(0,0).
|
Tabel.
|
ekstrimnya
adalah P(1
|
Jawab:
y
Q (0,2) P= (1
12 ,1)
x
O R(2,0) (3,0)
titik P
merupakan titik potong garis
2x + 3y = 6
|
| x 4 | 8x
|
+ 12y
|
=
24
|
|||
4x + 2y = 8
|
| x 2 | 8x
|
+ 4y
|
=
16
|
-
|
||
8 y = 8
|
||||||
y
= 1
|
||||||
2x + 3y
|
= 6
|
|||||
2x + 3.
|
1 = 6
|
|||||
x = 1 12
|
||||||
titik potongnya adalah titik P (1
12 , 1 )
|
||||||
Titik
|
O
|
P
|
Q
|
R
|
X
|
0
|
1 12
|
0
|
2
|
Y
|
0
|
1
|
2
|
0
|
A=x+3y
|
0
|
4 12
|
6
|
2
|
B=2x+5y
|
0
|
8
|
10
|
4
|
dari tabel dapat
disimpulkan bahwa :
nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0
nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0
Model Matematika
Model
matematika adalah penerjemahan dari situasi yang disajikan dalam bahasa
sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear)
Contoh:
Tempat
parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m 2
, untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas
10m 2 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan
tempat
seluas
20m 2 . Tempat parkir
tersebut maksimal hanya dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika
ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa
ongkos maksimal parkir yang didapat ?.
Jawab:
langkah 1 : buat model matematika dalam
bentuk table
Jenis
|
Luas
|
Banyak
|
Mobil
|
10
|
X
|
Bus
|
20
|
Y
|
Tersedia
|
800
|
50
|
Diperoleh model matematika:
10x + 20y
≤ 800
|
x + 2y ≤ 80
|
|
x + y
|
≤50
|
|
x ≥ 0
|
||
y ≥ 0
|
||
fungsi
tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000 y dengan syarat-syarat di atas.
Langkah 2: menggambar daerah
penyelesaian
Daerah 1 Æ x + 2 y = 80
X
|
0
|
80
|
Y
|
40
|
0
|
Titik
|
(0,40)
|
80,0)
|
daerah 2 Æ x + y = 50
X
|
0
|
50
|
Y
|
50
|
0
|
Titik
|
(0,50)
|
(50,0)
|
Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x +
y = 50
x
+ 2 y = 80
|
||
x +
|
y = 50
|
-
|
y = 30
|
||
x + y = 50
x = 50 – 30 = 20
titik potongnya (30,20)
(0,50) titik potong (20,30)
(0,40)
(0,0)
(50,0) (80,0)
Daerah yang diarsir adalah daerah
penyelesaianya
Langkah 3 : Menentukan nilai optimum
fungsi tujuannya
Dengan menggunakan metoda titik-titk
sudut :
Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0),
(50,0), (20,30) dan (0,40)
Titik
|
(0,0)
|
(50,0)
|
(20,30)
|
(0,40)
|
|
X
|
0
|
50
|
20
|
0
|
|
Y
|
0
|
0
|
30
|
40
|
|
2000x+4000y
|
0
|
100.000
|
160.000
|
160.000
|
Jadi
ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000 dengan jumlah parkir untuk mobil
sebanyak 20 mobil dan untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk
catatan:
nilai untuk titik
(0,40) jumlahnya sama dengan untuk (20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan
parkir hanya digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut diabaikan.
www.belajar-matematika.com - 5
No comments:
Post a Comment